Introducción a la Geometría

1.1 Introducción a la geometría descriptiva:

Es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional y, por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura.

1.2 Proyección y proyectante: 

Proyección es una técnica de dibujo empleada para representar un objeto en una superficie. La proyección gráfica de un objeto es considerada como la figura obtenida sobre la superficie mediante haces de rectas, llamadas rectas proyectantes, que partiendo de un punto, llamado Foco, trasladan los detalles del objeto hasta la superficie en la que inciden.

Elementos de una proyección gráfica:

• El punto de vista o foco de proyección ()
• Puntos a proyectar (BXA)
• Proyección de los puntos ()
• Recta proyectante ()
• Plano sobre el que se proyecta o plano de proyección (  ).

El cómo representar y  reconocer las formas de los cuerpos depende de la utilización de una operación elemental llamada proyección. 

Para representar un objeto en un plano, se recurre  a hacer pasar por todos los puntos notables del objeto, lineas de proyección, que al incidir sobre el plano dan los puntos proyectados correspondientes (intersecciones).

1.3 Tipos de proyección:

El tipo de proyección va a depender fundamentalmente de que el foco sea un punto propio  (perspectiva cónica o lineal, en la que el punto propio sería el vértice del cono), o impropio (perspectiva cilíndrica, llamada así porque las lineas de proyección son paralelas entre sí).

Proyección central, cónica o perspectiva, cuando todas las líneas proyectantes pasan por un punto, este es el caso, por ejemplo, de la sombra de un objeto sobre una superficie cuando es alumbrado por una lámpara (foco puntual).

Es la adoptada en el sistema de representación cónico.

Una variante de este sistema de representación lo constituye la proyección estereografía empleada para la representación plana de la superficie de una esfera, y que se obtiene proyectando todos los puntos de la esfera desde uno de ellos sobre el plano tangente en el punto diametralmente opuesto, o sobre un plano paralelo a este, trazado por el centro de la esfera.

Proyección	Tipos	Perspectiva
Central	Perspectiva cónica con uno, dos o tres puntos de fuga.
Paralela	Ortogonal	Isométrica (tres ángulos iguales (120º), coef. de reducción iguales)
		Dimétrica (dos ángulos iguales, dos coeficientes distintos)
		Trimétrica (tres ángulos y coeficientes distintos)
	Oblicua	Perspectiva caballera, Perspectiva militar,

Proyección paralela o proyección cilíndrica: Cuando las líneas proyectantes son paralelas –como el anterior objeto alumbrado por la luz del Sol.  Es un caso particular de proyección central, donde el foco del haz proyectante estaría a distancia infinita.

Proyección paralela es un sistema de representación gráfica para trasponer un objeto tridimensional a un dibujo bidimensional en un plano, llamado plano de proyección. Consiste en proyectar puntos del espacio contra el plano de proyección mediante haces de rectas siempre paralelas entre sí.

Proyección oblicua es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son oblicuas al plano de proyección, estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados. 

En el plano, la proyección oblicua es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son oblicuas a la recta de proyección.

Así, dado un segmento, bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento –mediante líneas proyectantes auxiliares oblicuas, para determinar la proyección sobre la recta.

Perspectiva caballera: 

es un sistema de representación que utiliza la proyección paralela oblicua, en el que las dimensiones del plano proyectante frontal, como las de los elementos paralelos a él, están en verdadera magnitud. 

En perspectiva caballera, dos dimensiones del volumen a representar se proyectan en verdadera magnitud (el alto y el ancho) y la tercera (la profundidad) con un coeficiente de reducción. Las dos dimensiones sin distorsión angular con sus longitudes a escala son la anchura y altura (y, z) mientras que la dimensión que refleja la profundidad (x) se reduce en una proporción determinada. 1:2, 2:3 o 3:4 suelen ser los coeficientes de reducción más habituales.

Ej. Además del dibujo técnico e ilustraciones, los videojuegos (especialmente aquellos anteriores a la llegada de los juegos 3D) también usaban a menudo una forma de proyección oblicua. Algunos ejemplos son: SimCity, Ultima VII, EarthBound, o Paperboy.

Ejemplo de perspectiva militar a vista de pájaro

Perspectiva militar, variación a 45º

Perspectiva militar o cabinet es una proyección paralela oblicua, un sistema de representación por medio de tres ejes cartesianos (X, Y, Z). 

En el dibujo, el eje Z es el vertical, mientras que los otros dos (X, Y) forman 90° entre sí, determinando el plano horizontal (suelo). Normalmente, el eje X se encuentra a 120° del eje Z, mientras que eje Y se encuentra a 150° de dicho eje. 

La principal ventaja radica en que las distancias en el plano horizontal conservan sus dimensiones y proporciones. Las circunferencias en el plano horizontal se pueden trazar con compás, pues no presentan deformación. Las circunferencias en los planos verticales se representan como elipses. 

La perspectiva militar es un sistema de representación hipotético, debido a que la única forma de que presenten 90° los ejes X e Y, solo sería mirando el cuerpo desde arriba.

A partir de dichas vistas, se puede conseguir una representación tridimensional del objeto en el sistema axonométrico, cuyas líneas proyectantes pueden ser tanto ortogonales como oblicuas.